Para
o cálculo do diâmetro do looping, é necessário estabelecer uma relação entre a
altura de lançamento e o raio. A esfera terá que adquirir uma velocidade mínima
para completar o looping sem que caia dos trilhos. O cálculo é feito igualando
a energia no início do sistema á energia no momento que a esfera está no topo
do looping. A volta só será completa caso a energia o topo do looping seja, no
mínimo, igual a energia no início do sistema.
Ea = Eb
Fonte: Blog Os Fundamentos da Física.
Dísponível em:
http://osfundamentosdafisica.blogspot.com/ Acesso em out. 2018
No
ponto A, a esfera detém apenas energia potencial, enquanto que no ponto B, a
esfera detém energia potencial, energia de rotação e energia de translação.
Ep
= mgh Kt = mv²/2 Krot = Iω²/2
Ea = Eb
mgha
= mghb
+ Kt
+ Krot
mgha = mghb + mv²/2 +
Iω²
O
“I” dentro da fórmula “Krot
= Iω²/2” representa o momento de inércia, que expressa a dificuldade de se
alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Quanto maior o momento de
inércia, maior será a dificuldade de alterar o estado atual de um corpo com
relação a tendência de realizar um movimento de rotação. Algumas objetos comuns,
como a esfera, têm valores de momento de inércia tabelados.
Fonte:
Alfa Connection
Disponível
em: alfaconnection.pro.br/ Acesso em nov 2018
Além
disso, para continuarmos o cálculo de energia, precisamos substituir a
velocidade angular da fórmula “Krot = I𝜔²/2” por algo que já esteja
presente no cálculo. Para isso, podemos usar conceitos de rolamento.
Enfim,
pode-se concluir que:
v
= Rω ou ω = v/R
Sabendo
disso, podemos prosseguir com o cálculo da relação entre altura de lançamento e
raio do looping:
mgha = mghb + mv²/2 +
½ . 2mR²/5 ⋅
(v/R)²
gha = ghb + 0,5 v²+ 0,2 v²
No
ponto B, a força resultante é igual a força peso. Isso porque a normal é
anulada, já que a esfera não tem contato com a calha caso passe com a
velocidade mínima.
Fonte: Rizzo O Físico
Disponível em: rizzofisico.wordpress.com
/Acesso em nov 2018
Fr = m ⋅ ac
P
= mv²/r
v²
= Rg
Onde:
Fr = Força Resultante
m
= massa da esfera
ac
= aceleração centrípeta
R
= Raio
v
= velocidade da esfera
g =
aceleração da gravidade local
Substituindo
v² na expressão anterior:
gha = ghb + 0,7Rg
ha = 2R + 0,7R
ha = 2,7R
ha = 27 cm
Esse
é a relação teórica entre a altura de lançamento e o raio do looping. Considerando
esses cálculos e que o raio do looping utilizado foi de 10 cm, a esfera
completaria o looping a pelo menos uma altura de 27 cm. Entretanto, isso não se
faz verdade na prática. Isso se deve ao fato de o sistema ser não conservativo,
apresentando atritos como o atrito cinético e o atrito de rolamento mostrado a
seguir:
Fonte: Feira de Ciências
Disponivel em:
http://www.feiradeciencias.com.br/ Acesso em nov 2018
Onde
R é o Raio da esfera, Fat é o atrito, J é momento de inércia e γ é a aceleração angular.
Considerando
essa relação do teorema do momento angular com polo G e considerando que é igual a α = R ⋅ γ ou γ = α/R onde é a aceleração linear do
centro de massa e é o raio da esfera,
temos:
Fat = J ⋅ α/R²
Agora,
utilizando do teorema do centro de massa (m . α = m . g . senθ) e do teorema do
momento angular com polo G (R ⋅
Fat = J ⋅γ)
juntos, isto é, realizando um sistema entre eles, resulta em:
Fonte: Feira de Ciências
Disponivel em:
http://www.feiradeciencias.com.br/ Acesso em nov 2018
Substituindo
o valor de na equação Fat = J ⋅ α/R² temos:
Fat
= m⋅g⋅
senθ/1+(
m⋅R²/J)
Considerando
que o momento de inércia ( J ) da esfera seja 2R²⋅ m/5 temos:
Fat = m⋅ g ⋅ senθ/1+(2/5)
Já
o conceito de torque
pode ser aplicado no looping como o momento angular que é calculado a partir da
relação: L = I ⋅ ω onde I é momento de inercia da esfera que é
representado por 2R²m/5 e ω é a velocidade angular, lembrando que ω é calculado a partir da relação
ω = v/R com
isso pode – se observar:
L= I ⋅ ω
L = 2R²m/5 ∙ v/R
L = 2R ∙ m ∙ v/5
Para identificarmos a relação atribuída a
velocidade utilizamos da conservação de energia no ponto inicial e final, onde
no trajeto inicial, do ponto de lançamento até a extremidade do looping, se
segue a seguinte relação:
m∙g∙h
= m∙g∙h +7mvti²/10
vti = 10g(h1-h2)/7
Considerando a gravidade do local de
lançamento como (9,79 m/s²), a altura do lançamento do looping (h1=0,46 m) e a
altura da extremidade do looping como (h2=0,191 m) obtêm o seguinte resultado:
vti² = 10∙
9,79
∙
(0,46-0,191)/7
vti = 1,939628094 m/s
A partir do valor encontrado da velocidade
no trajeto inicial do percurso é possível determinar a velocidade atribuída ao
trajeto final do percurso pela seguinte relação:
g ∙
(h2-h3) + 7vti²/10
= 7vtf ²/10
Onde a altura do percurso final (h3) é
considerada (0,15 m) e assim pode-se
obter o valor da velocidade do trajeto final:
7vtf ²/10 = 9,79(0,191-0,15) + 7∙(1,939628094)²/10
vtf = 2,0822035032 m/s
Segue abaixo a tabela de custos da equipe na realização do projeto looping:
Fonte: Própria equipe.
A seguir está um vídeo elaborado pelo grupo, demonstrando todo o processo de criação do looping, além dos testes do protótipo e a teoria envolvida no projeto:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, David. Física para Cientistas e Engenheiros. 5ª ed. Rio de Janeiro. LTC Editora. 2004. 368 páginas.
Postagem por Enzo Matos e Victor Cardoso.
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